Funciones polinomiales:

Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia mas alta que aparece de x.

Función algebraica

En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación

$a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0$

donde los coeficientes a_i(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.

En términos más precisos, una función algebraica puede no ser estrictamente una función, por lo menos no en el sentido convencional. Por ejemplo sea la ecuación de una circunferencia:

$y^2+x^2=1.\,$

La misma determina y, excepto por su signo:

$y=\pm \sqrt{1-x^2}.\,$

Sin embargo, se considera que ambas ramas pertenecen a la "función" determinada por la ecuación polinómica.

Una función algebraica de n variables es definida en forma similar a la función y que es solución de la ecuación polinómica en n + 1 variables:

$p(y,x_1,x_2,\dots,x_n)=0.\,$

Normalmente se supone que p debe ser un polinomio irreducible. La existencia de una función algebraica es asegurada por el teorema de la función implícita.

Formalmente, una función algebraica de n variables en el cuerpo K es un elemento del cierre algebraico del cuerpo de las funciones racionales K(x₁,...,x_n). Para poder comprender a las funciones algebraicas como funciones, es necesario incorporar ideas relativas a las superficies de Riemann o en un ámbito más general sobre variedades algebraicas, y teoría de haces.

Función trascendente

Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinomial cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación. En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y extracción de raíces. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.

Raíz de una función

ƒ(x)=cosx en el intervalo [-2π,2π], las intersecciones con el eje x (las raíces) están indicadas en rojo: -3π/2, -π/2, π/2, 3π/2.

En matemática, se conoce como raíz (o cero) de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f(x) a todo elemento xperteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:

$f(x) = 0 \,$ .

Por ejemplo, dada la función:

$f(x) = x^2 - 6x + 8 \,$

Planteando y resolviendo la ecuación:

$0 = x^2 - 6x + 8 \,$

Se tiene que 2 y 4 son raíces ya que f(2) = 0 y f(4) = 0.

Buscando raíces

El teorema fundamental del álgebra determina que todo polinomio en una variable compleja y de grado n tiene n raíces (contando sus multiplicidades). Aun así, Las raíces de los polinomios reales no son necesariamente reales; algunas de ellas, o incluso todas, pueden ser complejas.

Una función trascendente como por ejemplo $\sin(x)\,$ posee una infinidad de raíces, concretamente cualquier $x_n = n\pi,\ n\in\mathbb{Z}$ es raíz de esa función. En cambio la función $e^z$ no se anula nunca sobre los números complejos.

El número de raíces de una función holomorfa o una función analítica es un conjunto numerable sin puntos de acumulación.

Uno de los problemas no resueltos más interesantes de la matemática moderna es encontrar las raíces de la función zeta de Riemann.

Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo $p$ de grado $n>0$ , la ecuación $p(z) = 0$ tiene exactamente $n$ soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:

El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.

Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma $(x-c_i)\,$ .

El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera:

Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).

Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales.

El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra.

Corolarios

Como el teorema fundamental del álgebra puede ser visto como la declaración de que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado, se sigue que cualquier teorema concerniente a cuerpos algebraicamente cerrados aplican al cuerpo de los números complejos. Se muestran aquí algunas consecuencias del teorema, acerca del cuerpo de los números reales o acerca de las relaciones entre el cuerpo de los reales y el cuerpo de los complejos:

El cuerpo de los números complejos es la clausura algebraica del cuerpo de números reales.

Todo polinomio en una variable $x$ con coeficientes reales es el producto de un polinomio constante de la forma $x+a$ con $a$ real, y polinomios de la forma $x^2+ax+b$ con $a$ y $b$ reales y $a^2-4b<0$ (que es lo mismo que decir que el polinomio $x^2+ax+b$ no tiene raíces reales).

Toda función racional en una variable $x$ , con coeficientes reales, se puede escribir como la suma de una función polinómica con funciones racionales de la forma $a/(x-b)^n$ (donde $n$ es un número natural, y $a$ y $b$ son números reales), y funciones racionales de la forma $(ax+b)/(x^2+cx+d)^n$ (donde $n$ es un número natural, y $a$ , $b$ , $c$ , y $d$ son números reales tales que $c^2-4d<0$ ). Un corolario de esto es que toda función racional en una variable y coeficientes reales tiene una primitiva elemental.